Начиная с 5-го урока, вычисления станут, довольно громоздки, однако, в калькулятор все время тыкать вредно и не очень то нужно . Все можно сделать проще и элегантней.
Поэтому, настоятельно рекомендую вам установить одну из программ по символьной математике.
Самые удобные и функциональные это Mathcad и Maple . Лично я пользуюсь Mathcad’ом , и рекомендую вам именно него. Однако, эти программы громоздки и далеко не бесплатны.
Если у вас нет возможности установить одну из этих программ, можно поставить SMath Studio она совершенно бесплатна, фактически является клоном/аналогом MathCad'a, хоть и с довольно урезанной функциональностью, но больше нам пока и не нужно. :).
Скачать эту программку можно тут , если у вас установлена среда .NET Framework 2.0 , - скачайте версию SMath Studio по этой ссылке: (всего 700 КБ.), если нет, качайте автономную версию тут: (16 Мб).
Начиная с 5-го урока примеры/шаблоны/домашние задания будут даваться в формате MathCad и дублироваться в формате SMath Studio
Так же, я надеюсь, что MS Excel установлен у всех, потому что некоторые материалы так же будут даваться в его формате.
******
Добавленно 03-09-09
Объявление о внесении изменений/дополнений в материалы лекций.
Тут от одного из участников поступил вопрос на счет того можно ли другим участником форума вносить изменения/дополнения в материалы лекций иди добавлять свои уроки.
Конечно же, не можно, а нужно!!!
Данная тема закрыта, лишь, потому, что не хотелось создавать информационную кашу, смешивая обсуждение лекций с их изложением :) Конечно же, любой участник форума может предложить изменения/дополнения к материалам лекций, либо добавить свой урок, и сделать это можно несколькими способами:
1. Оставив свой материал в соседней теме "Астростатистика для чайников. Мини-уроки. (практика)" http://forum.argo-school.ru/showthread.php?t=2631 .
2. Выслав материал на мой e-mail: lordwilex( собака )lordwilex.ru.
3. Так же, не стоит забывать, что форум свободный и любой его участник может создать самастоятельную тему в рамках тематики раздела, где может публиковать свои статьи/исследования, или даже открыть самостоятельные курсы.
В случае если вы выбираете способ добавления материала 1 или 2:
- Если это дополнение к конкретному уроку, он будет оформлен, как добавочный текст к содержанию соответствующего урока с указанием автора материала.
- Если это самостоятельный материал, - он будет оформлен, как отдельный урок.
Если это самостоятельный материал, его лучше оформить надлежащим образом, целостно изложив его содержание, добавив соответствующие иллюстрации/формулы, в графическом формате, если таковые имеются.
И еще, если материал сложный, то не стоит ставить телегу впереди лошади, на пример, не нужно присылать материалы с использованием регресивного анализа, если еще не пройдена элементарная теория вероятностей, у рядового читателя это может вызвать затруднения, такие материалы лучше публиковать отдельной темой.
В статистике и теории вероятностей это число, лежащее между 0 и 1, чем ближе к 1, тем достоверней событие. Однако, если вам хочется выразить её в процентах, ни чего сложного, просто умножаем на 100.
Пример 1.
Какова вероятность того, что в карте случайно взятого человека Солнце окажется в знаке Льва?
Всего знаков у нас 12, человек у нас 1, следовательно вероятность того, что Солнце в его карте окажется в знаке Льва:
Вероятность того, что в случайно взятой карте Солнце , либо Луна окажется в Весах: 2/12 = 0,167 или, если в процентах: 0,167*100 = 16,7%
Пример 3.
Какова вероятность того, что в случайно взятой карте Солнце окажется в квадратуре с Луной при орбе в 5 градусов?
Всего у нас 360 градусов, из них в орб попадают 10 градусов (5 градусов слева и 5 градусов справа). Таким образом, вероятность того, что Солнце с Луной образуют квадратуру равна:
Классическое определение вероятности штука конечно хорошая, однако, работает только при строго равномерном распределении, в реальной жизни, увы, не все так идеально.
При подбрасывании монетки вероятность того, что выпадет решка будет ровняться 0,5 только в том случае, если она идеально ровно отполирована и её центр тяжести находится точно посередине, в противном случае, решка, на пример, может выпасть в 45 случаях из 100, а орел в 55 случаях.
Из-за того, что орбита Земли представляет собой элипс, а так же из-за гравитационных возмущений, Солнце по знакам в течение года распределяется не так уж и равномерно, а дает отклонения примерно в 1%.
Планеты в зодиаке, даже в течение очень большого промежутка времени из-за ретроградности распределяются еще более неравномерно.
Даже если мы учтем все эти поправки, то все равно окажется, что из-за колебаний рождаемости-смертности в течение определенного промежутка времени планеты будут распределяться неравномерно, и это, увы, не астрологические влияния.
В этом случае остается только одно, - исследовать всю генеральную совокупность на предмет распределения планет, и уже потом сравнивать это распределение с исследуемой выборкой.
И тут нам на помощь приходит статистическое определение вероятности:
Вероятностью события, в статистическом смысле, называют число P(A) , во круг которого группируются значения относительной частоты m, при больших n.
Как видно, формула та же самая, что и у «классической вероятности», а принцип её получения немного другой. Статистическое определение вероятности базируется на законах статистической же устойчивости, которые мы подробно рассмотрим в следующих уроках. Пока скажу только, что статистическая вероятность предполагает некоторую погрешность, но чем больше n, тем меньше эта погрешность.
Пример:
Определим вероятность того, что в случайно взятой карте в интервале времени между 2000 и 2009 годом Меркурий окажется в знаке Льва.
Для этого возьмем 10000 случайным образом сгенерированных дат (чем больше тем лучше, но как показывает опыт, при таком объеме данные довольно устойчивы) в интервале между 2000 и 2009 годами. Посчитаем в каком количестве карт Меркурий оказался в знаке Льва. Допустим во Льве Меркурий оказался 500 раз.
Разделим 500 на 10000.
Таким образом, вероятность того, что Меркурий в случайно взятой карте в интервале между 2000 и 2009 годами случайным образом окажется в знаке Льва, равна 0,05 или 5%.
Математическое ожидание.
Допустим, вероятность мы вычислили, но для того, чтобы узнать, на пример, чего ожидать в среднем, нам понадобится такая штука, как математическое ожидание, так называемый момент 1-го порядка, или как его еще называют особо продвинутые статистики с высоким IQ «среднее ожидание попадания» :).
Вычисляется оно очень просто:
Где:
p – Вероятность события.
x – Наблюдаемые значения
В случае, когда мы имеем дело с равномерным распределением математическое ожидание (или просто МО), равно среднему значению.
В случае, когда мы имеем дело с достаточно большим количеством испытаний МО приближенно равно среднему значению.
Пример.
В 10 случайно взятых картах Юпитер 3 раза оказался в мужских знаках и 7 раз в женских. Найти его мат. ожидание.
Вероятность того, что Юпитер окажется в мужском знаке = 0,5, такая же для женского знака. Таким образом, математическое ожидание Юпитера в мужских/женских знаках:
МО(Юпитер) = 3*0,5 + 7*0,5 = 3,5 + 1,5 = 5.
Что в данном случае равно среднему значению.
А, если посекторно, - мат ожидание, на пример, Юпитера в женском знаке = 0,5*7 = 3,5
Цитата:
Полезные определения (зубрить не нада, я и сам их не помню, но намотать на ус обязательно!!!):
Испытанием называется любой опыт, наблюдение, эксперимент и т.д. (Пример: бросание монеты) . Событием называется результат этого испытания (Пример: орел или решка в испытании с бросанием монеты). Совместимыми событиями называются такие события, что одно из событий не исключает появление другого (Пример: два раза бросил монету и 2 раза выпал орел). Несовместимыми событиями называются такие события, в которых, появление одного из них в одном испытании исключает появление другого (Пример: один раз бросили монетку, может выпасть либо орел, либо решка, и не может выпасть и того и другого одновременно). Попарной несовместимостью называется несовместимость более чем 2-х событий (Пример: бросили один раз игральную кость, выпала единица, все остальные грани попарно несовместимы). Противоположными событиями называются такие события, которые несовместимы, и в то же время происходит одно их них (Пример: бросили монетку, выпал орел, выпадание решки противоположное событие). Достоверным событием называется такое, которое является единственно возможным исходом испытания (Пример: купили часы китайского производства, а они взяли да и сломались, потому что просто не могли не сломаться :) ).
На сегодня все. В следующем уроке мы будем складывать и умножать вероятности, и еще что-нибудь
Еще пример
Ожидаемое значение при известном объеме выборки.
Часто на практике приходится решать обратную задачу, когда известны вероятности и объем выборки, но не известно сколько чего следует ожидать в результате.
Допустим объем выборки 10 карт. Вероятность того, что планета окажется в первой половине зодиака 0.3, вероятность того, что она окажется во второй половине 0.7. Сколько карт следует ожидать в первой половине зодиака?
Умножаем вероятность на объем выборки и получаем ожидаемое значение.
0.3*10 = 3 карты
Примечание: Здесь кругом обозначено пространство вероятных исходов. Желтой заливкой далее будут обозначаться события, которые произошли, а голубым, те, которые не произошли.
Пример.
В случайно взятой карте Солнце, либо Луна попали в знак Овна, либо это произошло с обеими объектами.
Теорема сложения вероятностей совместимых событий:
Вероятность суммы 2х совместимых событий A и B, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A * B)
Пример.
Найти вероятность того, что в случайно взятой карте Солнце либо Луна попадут в знак Овна, либо это произойдет одновременно.
Вероятность того, что Солнце попадет в знак Овна = 1/12 или 0,083.
Вероятность того, что Луна попадет в знак Овна такая же.
Следовательно вероятность того, что в случайно взятой карте Солнце, либо Луна попадет в знак Овна, либо это произойдет одновременно равна:
0,083+0,083 – 0,083*0,083 = 0,16 или 16%
2. Одновременно произошло и событие A и событие B . Такие события называются зависимыми.
Пример.
В случайно взятой карте и Солнце и Луна одновременно оказались в знаке Овна.
Теорема умножения вероятностей зависсимых событий.
Вероятность произведения 2х зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденую из предположения, что первое уже наступило.
P(A * B) = P(A) * Pa(B)
или
P(A * B) = P(A) * P(B|A)
Пример.
В базе данных, состоящей из 10 карт имеется 5 карт людей у которых Солнце в Овне и 5 карт людей, у которых Солнце в Тельце. В случайно взятой карте Солнце оказалось в Тельце.
Как изменилась вероятсность вытащить еще одну карту с Солнцем в Тельце, если уже выбранную карту в которой оно оказалось в Тельце, мы в выборку не возвращаем?
В начале эксперемента вероятность случайно вытянуть карту с Солнцем в Тельце была такая же, как и вероятность вытянуть карту с Солнцем в Овне т.е. 5/10.
После того, как мы вытянули карту с Солнцем в Тельце вероятности изменились на 5/9 для Овна и 4/9 для Тельца соответственно.
Таким образом вероятность того, что мы 2 раза подряд вытянем карту с Солнцем в Тельце = (5/10) * (4/9) = 0,22
Умножение вероятностей независсимых событий.
Вероятность произведения 2х независимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого.
P(A * B) = P(A) * P(B)
Пример.
Найти вероятность того, что Солнце и Луна в случайно взятой карте одновременно окажутся в знаке Овна.
Вероятность того, что Солнце попадет в знак Овна = 1/12 или 0,083.
Вероятность того, что Луна попадет в знак Овна такая же.
Следовательно, вероятность того, что они одновременно окажутся в Овне равна:
0,083 * 0,083 = 0,006889 или 0,68%
3. Произошло одно из событий A или B, при этом не произошло другое событие.
Пример.
В случайно взятой карте Солнце или Луна оказались в знаке Овна, и при этом другая планета не оказалась там же.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность 2х несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A + B) = P(A) + P(B)
Пример.
Вычислим вероятность того, что в случайно взятой карте Солнце либо Луна окажется в знаке Овна и при этом обе они не окажутся там же.
Вероятность того, что Солнце попадет в знак Овна = 1/12 или 0,083.
Вероятность того, что Луна попадет в знак Овна такая же.
Вероятность того, что одна из них окажется в Овне и при этом другая не окажется там же равна:
0,083 + 0,083 = 0,167
4. Не произойдет не одного из заданных событий.
Вычисляется просто:
Q = 1 – P
Где:
Q – вероятность НЕнаступления события (см. теоремы выше)
P – Вероятность наступления события
Цитата:
И еще несколько небольших теорем, в виду их очевидности по полочкам разбирать не будем.
1. Вероятность невозможного события равна нулю.
2. Вероятность достоверного события равна единице.
3. Вероятность случайного вероятного события представляет собой положительное число между нулем и единицей.
В следующий раз разберем еще более сложный вероятности…
p(Bi) -Вероятность события Bi при условии, что произошло событие a p(a) – Вероятность события a
Пример.
Определить вероятность того, что Солнце окажется в одном из огненных знаков, и при этом будет образовывать соединение с Луной при орбе в 5 градусов.
Вероятность того, что Солнце образует аспект с Луной. при орбе в 5 градусов ( p(a) ) равна 10/360 или 0,028 (см. урок 1).
Вероятность того, что солнце окажется в Овне = p(B1) = 1/12 = 0,083
Вероятность того, что солнце окажется во Льве = p(B2) =1/12 = 0,083
Вероятность того, что солнце окажется в Стрельце = p(B3) = 1/12 = 0,083
Следовательно, вероятность того, что Солнце окажется в одном из этих знаков и при этом образует соединение с Луной =
Примечание. Эту же самую задачу можно решить проще, применив теорему умножения вероятностей.
Вероятность того, что солнце окажется в одном из огненных знаков = 3/12 = 0,25
Вероятность того, что при этом образуется соединение с Луной при орбе в 5 градусов = 10/360 = 0,028
Вероятность того, что оба события произойдут одновременно равна:
0,25*0,028 = 0,007 или 0,7%
Однако, когда вероятность зависимых событий разная, теорема умножения вероятностей неприменима, поэтому придется применять формулу полной вероятности.
Формула Бейеса.
Пусть в условиях рассуждения, относящихся к формуле полной вероятности произошло событие p(a) , способствующее одному из событий p(Bi) , как в связи с этим изменились вероятности событий p(Bi) ?
В этом случае можно воспользоваться формулой Бейеса:
Пример:
Определить как изменилась вероятность того, что, что Солнце окажется в одном из огненных знаков (из предыдущего примера), если оно уже образовало соединение с Луной при орбе 5 градусов.
Вероятность того, что Солнце образует аспект с Луной. при орбе в 5 градусов ( p(a) ) равна 10/360 или 0,028 (см. урок 1).
Вероятность того, что солнце окажется в Овне = p(B1) = 1/12 = 0,083
Вероятность того, что солнце окажется во Льве = p(B2) =1/12 = 0,083
Вероятность того, что солнце окажется в Стрельце = p(B3) = 1/12 = 0,083
Следовательно, вероятность того, что Солнце окажется в одном из этих знаков и при этом образует соединение с Луной =
Делим, получившееся число 0.028*0.083 на 0,007 и получаем вероятность.
(0.028*0.083)/0,007 = 0,33
(Примечание. вообще-то должно получится 0,25, но по всей видимости это из-за округления и многократного перемножения ошипка накопилась... бум на это надеяться.... )
В следующем уроке мы, наконец, таки рассмотрим элементы комбинаторики, и если останется время, то рассмотрим самые-самые еще более сложные вероятности, ака биноминальные распределения и их формулы
Под комбинаторикой понимается раздел математики, изучающий комбинации и расстановки n по m элементов :). Формулы комбинаторики широко применяются в теории вероятностей.
Размещение
Под размещениемn по m элементов ( m всегда <= n ) понимаются различные комбинации объектов между собой с учетом порядка.
На пример, из 2х элементов A и B можно составить всего 2 комбинации: AB и BA .
А вот 3 элемента A, B и С уже можно разместить следующими способами (если за m принять 2 любых элемента): AB, AC, BC, BA, CA, CB, всего 6 способов.
Формула для определения числа размещений имеет вот такой вид:
Примечание:
1. символом les4 A.gif обозначаются размещения из n элементов по m. прошу не путать с перестановками (см. дальше), которые будут обозначаться символом les4 C.gif .
2. Для тех кто не знает, символом n! (число и восклицательный знак) обозначается факториал, т.е. перемножение чисел от 1 до n. На пример: 5! = 1*2*3*4*5 = 120
Пример:
Имеется 3 объекта: Солнце, Луна и Асц. Определить вероятность того, что в случайно взятой карте Солнце окажется в Овне, Луна в Весах, а Асц во Льве.
Знаков у нас 12 (n=12), объектов 3 штуки (n=3). Следовательно, Солнце, Луна и Асц (с учетом порядка) могут распределиться по знакам зодиака 12 * (12 - 1)*(12-2) = 1320 способами.
А вероятность того, что объекты распределяться именно так (Солнце в Овне, Луна в Весах, а Асц во Льве) = 1 / 1320 = 0,00076
Цитата:
Небольшое лирическое отступление. Как видно, даже Солнца, Луны и Асц вполне достаточно, чтобы построить на основе них вполне сносно работающую астрологическую систему, если конечно провести подробные и широкомасштабные исследования всех комбинаций этих объектов во всех ситуациях, которая будет работать не чуть не хуже, а я думаю – лучше, всех современных и древних астрологий. К сожалению, существующие астрологические системы устроены таким образом, что анализируются только составные кирпичики, а их комбинации относительно интерпретируются, лишь, за счет воображения астролога….
****
Перестановка
В случае, когда m=n размещение называется перестановкой и может быть определено гораздо более легкой формулой:
Пример:
Определить вероятность того, что в случайно взятой карте Солнце окажется в мужском знаке, а Луна в женском.
Всего у нас 2 объекта (n=2), которые могут распределиться 2 способами (m=2). Таким образом, число возможных размещений = 2! = 1*2 = 2, а вероятность равна Ѕ = 0,5.
***
Сочетание
И наконец, переходим к сочетаниям.
Сочетанием из n элементов по m элементов ( обозначается les4 C.gif ) называется комбинации из n объектов по n в которых НЕ учитывается порядок. Вычисляются они по следующей формуле:
Как видно, разница между размещением и сочетанием заключается лишь в том, что в последнем не учитывается порядок элементов.
Пример:
Имеются 3 объекта, Солнце, Луна и Асц. Определить вероятность того, что один из них (любой) окажется во Льве, другой (без разницы какой) в Овне, а третий в Весах (по барабану какой).
Всего знаков у нас 12 (n=12), объектов у нас 3 (n=3).
Следовательно, вероятность того, что объекты распределяться так = 1/220 = 0,0045
****
И еще одно небольшое лирическое отступление. Начиная со следующего урока, вычисления станут, довольно громоздки, верней они уже начались, однако в калькулятор все время тыкать вредно и не очень то нужно . Все можно сделать проще и элегантней.
Поэтому, настоятельно рекомендую вам установить одну из программ по символьной математике.
Самые удобные и функциональные это Mathcad и Maple . Лично я пользуюсь Mathcad’ом , и рекомендую вам именно него. Однако, эти программы громоздки и далеко не бесплатны.
Если у вас нет возможности установить одну из этих программ, можно поставить SMath Studio она совершенно бесплатна, фактически является клоном/аналогом MathCad'a, хоть и с довольно урезанной функциональностью, но больше нам пока и не нужно. :).
Скачать эту программку можно тут , если у вас установлена среда .NET Framework 2.0 , - скачайте версию SMath Studio по этой ссылке: (всего 700 КБ.), если нет, качайте автономную версию тут: (16 Мб).
Начиная со следующего урока примеры/шаблоны будут даваться в формате MathCad и дублироваться в формате SMath Studio
Вопросы по уроку, как обычно оставляйте в этой теме.
Астростатистика для чайников. Мини-уроки. (теория)
. Все можно сделать проще и элегантней. 
)
Линейный вид
